sein muss, so ist der Klammerausdruck auf der rechten Seite stets Null. Ist nun " λ,, so verschwindet die ganze rechte Seite dieser Gleichung und es ist dann stets

Ebenso lassen sich jetzt die Integrale SEE, dq abhandeln. Wir brauchen blos zu beachten, dass E, für das Argument 2, +2∞ statt 2, gleich E, wird. Es ist also, dieselbe Funktion wie 1 nur mit anderem Argumente, und dann ist natürlich, wie oben gezeigt wurde, stets

Ganz anders steht jetzt aber die Sache, wenn z. B.

und wir erhalten das Integral

0

0

dq in der unbestimmten Form

Dürfen wir jetzt zur Bestimmung des Integrales die bekannte

Methode anwenden?

Diese Frage ist zu bejahen. Es geht zwar nicht stetig in λ, über, die Werte von λ, sind ja aus der Gleichung

zu erhalten, aber trotzdem lässt sich zeigen, dass auch hier die bekannten Methoden anwendbar sind.

Wir hatten zur Bestimmung der 4n-Coefficienten A, bis B, 4n-homogene Gleichungen, während wir blos (4n — 1)-Gleichungen brauchen. Dabei bleibt zwar ein Coefficient unbestimmt, dieser aber wird in die A u. s. w. hineingenommen und wir kümmern uns A, B1 blos um die Verhältnisse, z. B. u. s. W. Die letzte der

1

4n-Gleichungen führt uns dann zu der Bedingung für 1,

Sehen wir von dieser zunächst ab, so unterliegt λ, gar keiner Bedingung, es kann also

1

stetig in 2, übergehen und damit

0

0'

also fdq bestimmen. Ist dieser

lässt sich auch der Wert von

1

Wert ermittelt, also fidq als Funktion von λ, dargestellt, so beschränken wir die 2, auf die Wurzeln der Gleichung (2) und damit ist dq endgiltig bestimmt.

=

0,

13. Das Resultat.

Bestimmen wir aus den Gleichungen (32) unsere Coefficienten

und unser Resultat ist

Acos(+2)+Bsin(w+2)t+Ccos(∞—λ)t+Dsin(∞—λ)t}

Bcos(+2)t-Asin(+2)t+Dcos(co—2)t-Csin(∞—2)t}.

Die Summen erstrecken sich über alle λ, die der, aus den Grenzbedingungen resultierenden transzendenten Gleichung

Mit (16) folgen nun auch die Schwingungsgleichungen im festen Coordinatensysteme

Nun ist es aber praktischer, statt eine andere Grösse einzuführen. Setzen wir in (32)

und mit dieser Grösse u wollen wir auch weiter rechnen. Setzen wir in Gleichung (36)

und damit kommen wir auf die gewöhnlichen Formen für die ebenen Schwingungen nicht rotierender Balken, wie sie De St. Vénant entwickelt hat.

14. Die kritische Winkelgeschwindigkeit der Welle.

Aus (36) folgt, dass wir in unsere Schwingungsgleichungen Glieder hineinbekommen, die mit der Zeit unbegrenzt wachsen, wenn irgend ein λ imaginär wird. Da nun

Diesem entspricht nun eine Winkelgeschwindigkeit ∞, die wir die kritische Winkelgeschwindigkeit nennen wollen. Hato den Wert o, erreicht, so findet sich in den Reihen (36) ein Glied, dass mit der Zeit unbegrenzt wächst, also den Bruch der Welle zur Folge haben würde. Die Gleichung (35) hat nun unendlich viele Wurzeln und es würde demnach unendlich viele kritische Winkelgeschwindigkeiten geben. Wir brauchen aber nur die kleinste dieser Winkelgeschwindigkeiten zu betrachten. Da

wenn man für u seinen kleinsten Wert einsetzt, der sich durch Auflösung der Gleichung

୧

Da nun der Nenner o sehr klein gegen den Zähler ist, so ergibt sich, wie schon zu erwarten war, für ∞, ein sehr grosser Wert und es ist wohl zu bemerken, dass noch nie eine Welle durch Ueberschreiten dieser Winkelgeschwindigkeit zum Bruche gekommen ist.

15. Zwei wichtige Arten von Anfangsbedingungen.

Zu den Gleichungen (36) lassen sich nun zwei Bemerkungen machen. Geben wir der Welle eine Anfangsdeformation p,(x), lassen aber

=

und prägen ihr auch keine Geschwindigkeit ein, d. h.

Die Welle, der wir eine Deformation in einer Ebene gegeben haben, schwingt also nicht nur in dieser Ebene, sondern auch in der dazu senkrechten Ebene, und zwar sind die Amplitu den in dieser Ebene

ዎ

2

Es

--mal grösser bezw. kleiner, als in der ersten. wird also die Mittellinie der Welle eine Reihe von langsamen Rotationen um die x-Axe machen.

Ganz anders steht die Sache, wenn wir der Welle in irgend einer Ebene Geschwindigkeiten einprägen, also etwa in der yxEbene. Dabei nehmen wir an, dass die Welle vorher keine Deformation besessen hat, also

d. h. die Welle schwingt in der Ebene, in der die Geschwindigkeiten lagen, weiter. Es verdient dies umsomehr bemerkt zu werden, als man gerade erwarten wird, dass im Falle eines Stosses die Welle nach einer Richtung senkrecht zur Richtung des Stosses ausweicht. Wie wir soeben gesehen haben, ist dies aber nicht der Fall.

Unsere bisher nur allgemein gehaltenen Untersuchungen wollen wir jetzt auf 3 Beispiele anwenden, welche die Behandlung konkreter Fälle illustrieren sollen.